- Κεφάλαιο Α.1: Αλγεβρικές Παραστάσεις - Επιμέλεια: Γιαννάκαρος Σπύρος
- Κεφάλαιο Α.2: Εξισώσεις - Ανισώσεις - Επιμέλεια: Γιαννάκαρος Σπύρος
- Κεφάλαιο Α.3: Συστήματα γραμμικών εξισώσεων - Γιαννάκαρος Σπύρος
-
Κεφάλαιο Β.1: Γεωμετρία - Επιμέλεια: Γιαννάκαρος Σπύρος
- Κεφάλαιο Β.2: Τριγωνομετρία - Επιμέλεια: Γιαννάκαρος Σπύρος
Γεωμετρία λύσεις
ΑπάντησηΔιαγραφή1) α) Τα ΒΓΕ & ΒΔΓ είναι ίσα(ΒΓ κοινή, <ΓΒΕ=<ΒΓΔ, <ΓΒΔ=<ΒΓΕ λόγω διχοτόμου ίσων γωνιών), άρα ΒΔ=ΓΕ.
β) Από την ισότητα των ΒΓΕ& ΒΔΓ είναι και ΒΕ=ΓΔ και αφού ΑΒ=ΑΓ, θα είναι και ΑΕ=ΑΔ(διαφορά ίσων τμημάτων). Τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΗ & ΑΖΔ έχουν <Α κοινή & ΑΕ=ΑΔ(το αποδείξαμε παραπάνω), άρα είναι ίσα και κατά συνέπεια ΕΗ=ΔΖ.
2) α) Τα ΑΜΓ & ΒΜΔ είναι ίσα(ΑΜ=ΜΒ, <ΑΓΜ=<ΒΔΜ, <ΑΜΓ=<ΒΜΔ ως κατακορυφήν), άρα ΜΓ=ΜΔ.
β) Τα ΜΓΕ & ΜΔΖ είναι ίσα(<ΕΜΓ=<ΖΜΔ, <ΜΓΕ=<ΜΔΖ λόγω διχοτόμου ίσων γωνιών, ΜΓ=ΜΔ όπως έχουμε αποδείξει παραπάνω), άρα ΓΕ=ΔΖ.
3) α) Τα ΒΔΜ & ΔΝΓ έχουν <ΔΒΜ=<ΔΓΝ, ΒΜ=ΝΓ ως μισά ίσων τμημάτων & ΒΔ=ΔΓ λόγω διχοτόμου ισοσκελούς που αντιστοιχεί στη βάση, άρα διάμεσος. Οπότε τα ΒΔΜ & ΔΝΓ είναι ίσα.
β) Επίσης ΑΜ=ΑΝ ως μισά ίσων τμημάτων, άρα το ΑΜΝ είναι ισοσκελές κι έτσι το Α ανήκει στη μεσοκάθετη του ΜΝ(1). Επίσης από την ισότητα των ΒΔΜ & ΔΝΓ είναι ΔΜ=ΔΝ, άρα το Δ ανήκει στη μεσοκάθετη του ΜΝ(2). Από (1),(2) προκύπτει ότι η ΑΔ είναι μεσοκάθετη στο ΜΝ, άρα και η ΑΚ, αφού το Κ είναι σημείο της ΑΔ. Αφού τώρα η ΑΚ είναι μεσοκάθετη στο ΜΝ, έπεται ότι το ΜΚΝ είναι ισοσκελές.
4) α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ & ΑΒΔ έχουν ΑΒ κοινή, <ΑΔΒ=<ΑΓΒ=90 ως εγγεγραμμένες που βαίνουν σε ημικύκλιο, ΑΓ=ΒΔ, άρα είναι ίσα κι έτσι ΑΔ=ΒΓ.
β) Τα ΑΖΔ & ΒΓΕ έχουν <ΖΑΔ=<ΕΒΓ ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο, <ΑΖΔ=<ΒΕΓ=90, ΑΔ=ΒΓ όπως έχουμε αποδείξει παραπάνω, άρα είναι ίσα κι έτσι ΔΖ=ΓΕ.
5) α) <Α κοινή & <ΑΔΕ=<ΑΒΓ ως εντός εκτός και επί τα αυτά, άρα ΑΔΕ~ΑΒΓ.
β) x=5 με δευτεροβάθμια εξίσωση που βγαίνει από τους λόγους.
γ) Λόγος ομοιότητας=11/2, άρα (ΑΒΓ)/(ΑΔΕ)=(11/2)^2=121/4.
6) α) ΑΖΕ~ΑΒΔ, ΓΗΘ~ΓΒΔ, με λόγους παίρνω x=2, y=4.
β) Λόγος ομοιότητας ΑΒΔ, ΑΖΕ είναι 5/3, άρα (ΑΒΔ)/(ΑΖΕ)=25/9.
Λόγος ομοιότητας ΓΒΔ, ΓΗΘ είναι 5/4, άρα (ΓΒΔ)/(ΓΗΘ)=25/16.
γ) Διαιρώντας κατά μέλη τους λόγους εμβαδών παίρνουμε (ΓΗΘ)/(ΑΖΕ)=16/9.
7) α) (ΑΒΓ)=2(ΔΕΖ), άρα Ε χρωματιστού=(ΔΕΖ)=25*sqrt(3).
β) ΔΕ=ΔΖ=ΖΕ=10m.
γ) ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ=10*sqrt(2).
8) α) Η ΕΜ είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΓΕ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΑΓ, άρα 2ΕΜ=ΑΓ(1). Ομοίως από το ΑΒΔ είναι 2ΔΛ=ΑΒ(2) κι από το ΑΒΓ είναι 2ΑΚ=ΒΓ(3). Από Π.Θ στο ΑΒΓ είναι: ΒΓ^2=ΑΒ^2+ΑΓ^2, οπότε (2ΑΚ)^2=(2ΔΛ)^2+(2ΕΜ)^2, άρα ΑΚ^2=ΔΛ^2+ΕΜ^2.
β) Η ΚΜ συνδέει τα μέσα των ΑΓ, ΒΓ, άρα ΚΜ||ΑΒ κι έτσι <ΓΜΗ=90. Τώρα <ΖΓΜ=90, <ΓΜΗ=90, άρα ΗΜ||ΖΓ και αφού Μ το μέσον της ΑΓ, θα είναι Η το μέσον του ΑΖ κι έτσι ΑΗ=ΗΖ.
Τώρα εύκολα έχω:
ΑΒ=2ΚΜ(1)
ΓΖ=2ΜΗ(2)
ΚΗ=ΚΜ+ΜΗ(3)
Από(1),(2),(3) είναι ΑΒ+ΓΖ=2ΚΗ.
9) Λύνω τη δευτεροβάθμια εξίσωση που προκύπτει από τους λόγους, ...
Συγχαρητήρια για τον κόπο σας! Λόγω προβλήματος υγείας δεν μπορώ να τα δω αυτή τη στιγμή αναλυτικά, αλλά λογικά σε 10 μέρες θα είμαι σε θέση.
ΔιαγραφήΣου εύχομαι περαστικά και καλή ανάρρωση. Ελπίζω να είσαι ήδη καλύτερα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχετε κάνει μεγάλο κόπο για να γράψετε όλες αυτές τις απαντήσεις, σας ευχαριστώ!
Διαγραφή(Άργησα λίγο να τα δω, αλλά η πνευμονία με ταλαιπώρησε αρκετά κι έτσι τις τελευταίες 3-4 μέρες που είμαι εντάξει τα έλεγξα)
όπως και να 'χει, με τιμά ιδιαίτερα που ασχοληθήκατε τόσο με τα φυλλάδιά μου.
Φτάνει που είσαι καλά ρε Σπύρο, μην απολογείσαι για την καθυστέρηση, πάνω απ' όλα η υγεία!!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαι μην ξαναπείς ότι έκανα κόπο, κανένας κόπος και χαρά μου να βοηθάω έστω και λίγο.