Το άθροισμα:
ημ^{2}(1^{\circ})+ημ^{2}(2^{\circ})+ημ^{2}(3^{\circ})+\cdots +ημ^{2}(89^{\circ})+ημ^{2}(90^{\circ})
ισούται με:
(α) 44 (β) 44,5 (γ) 45 (δ) 45,5 (ε) 46
Πηγή: Εισαγωγικές Εξετάσεις στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης
Απάντηση:
ΑπάντησηΔιαγραφήσυνx=ημ(90-x)\Rightarrow συν^{2}x=ημ^{2}(90-x)
Επιπλέον:
ημ^{2}x+συν^{2}x=1
Άρα:
ημ^{2}x+ημ^{2}(90-x)=1
Οπότε:
ημ^{2}(1^{\circ})+ημ^{2}(89^{\circ})=1
ημ^{2}(2^{\circ})+ημ^{2}(88^{\circ})=1
κ.ο.κ.
Υπολογίζοντας ξεχωριστά και τα:
ημ^{2}(45^{\circ})=\dfrac{1}{2}
και
ημ^{2}(90^{\circ})=1
το ζητούμενο άθροισμα είναι:
44+\dfrac{1}{2}+1=45,5
Επομένως, σωστή απάντηση είναι το (δ)